基本的なラプラス変換表と覚え方：y'',exp,cos,sin

　ラプラス変換で簡単な2階微分方程式を解く際に使うような簡素なラプラス変換表と，その覚え方(導出)について述べます．

ラプラス変換の定義

　$t \geq 0$で定義される関数$y(t)$のラプラス変換は，
$$Y(s) = \int_0^\infty e^{-st}y(t) dt$$ です．一般に$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$と表すことが多いですが，この記事では便宜上$y(t)\xrightarrow{\sim}Y(s)$で表そうと思います．

必ず暗記すべき変換

これらは定義に従って計算すれば導出できますが，多少長いので導出は省略します．これだけでも暗記しておくと，後述しますが他の変換も導けたりします．

容易に導ける変換

これまでに述べた情報から簡単に導ける変換が多くあります．ここでは代表的なものを紹介します．

これらの多くは$e^{at}$のラプラス変換から導くことができます．

$f(t)=0$の場合

$0$を定積分しても$0$です．ラプラス変換の定義式を思い出せば，$F(s)=0$は明らかです．

$f(t)=1$の場合

ここからは$e^{at}$のラプラス変換
$$e^{at}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{s-a}$$ を利用して導きます．この式で$a\to 0$とすれば
$$e^{0}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{s-0}\\ 1\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{s}$$ と導けます．

$\cos{at},\ \sin{at}$の場合

$e^{at}$のラプラス変換において，$a\to ja$とします．ただし$j=\sqrt{-1}$です(私は電気系なので…)．
$$e^{jat}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{s-ja}$$ 共役複素数$s+ja$を右辺の分母分子に乗じて，
$$e^{jat}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{s-ja}\frac{s+ja}{s+ja}=\frac{s+ja}{s^2+a^2}$$
とします．ここで式を実数部(リアルパート)と虚数部(イマジナリパート)にわけます．このため，左辺にはオイラーの公式
$$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$$ を適用します．
$$\cos{at}+j\sin{at}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{s}{s^2+a^2}+j\frac{a}{s^2+a^2}$$ これより，
$$\cos{at}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{s}{s^2+a^2}\\ \sin{at}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{a}{s^2+a^2}$$ を得ることができます．

$e^{at}\cos{bt},\ e^{at}\sin{bt}$の場合

基本的に上と同様です．$e^{at}$のラプラス変換において，$a\to a+jb$とします．
$$e^{(a+jb)t}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{s-(a+jb)}=\frac{1}{(s-a)-jb}$$ 共役複素数$(s-a)+jb$を右辺の分母分子に乗じて，
$$e^{at+jbt}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{(s-a)-jb}\frac{(s-a)+jb}{(s-a)+jb}=\frac{(s-a)+jb}{(s-a)^2+b^2}$$
とします．ここで指数法則より$e^{at+jbt}=e^{at}e^{jbt}$ですから，オイラーの公式を適用し，
$$e^{at}(\cos{bt}+j\sin{bt})\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}+j\frac{b}{(s-a)^2+b^2}$$ これより，
$$e^{at}\cos{bt}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\\ e^{at}\sin{bt}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{b}{(s-a)^2+b^2}$$ を得ることができます．

$te^{at}$の場合

$e^{at}$のラプラス変換の両辺を$a$で偏微分します．
$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial a}e^{at}\xrightarrow{\sim}\frac{\partial}{\partial a}\frac{1}{s-a}$$ 両辺とも合成関数の微分で計算でき，
$$te^{at}\xrightarrow{\sim}\displaystyle\frac{1}{(s-a)^2}$$ となります．

まとめ

このように，全てのラプラス変換を暗記せずとも簡単な計算で導けることがあります．$\cos$と$\sin$で混乱しても，これを用いれば確認することができます．

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• 微分方程式