H30 応用数学I 期末試験 解答速報
応用数学Iの期末試験 (範囲: 2階線形常微分方程式，連立微分方程式) の解答速報です．間違いがあれば私に直接TwitterまたはSlackで指摘してください．リクエストがあれば導出過程も載せるかもしれません．
解は実関数（引数に虚数$j=\sqrt{-1}$がない形式）で求めよ．
問1: 2階常微分方程式の初期値問題
次の2階線形常微分方程式の初期値問題の解を求めよ．
$ y = y(x),\ \ ^{\prime}=d/dx $とする．
$$(1)\begin{cases}y’’-y’-2y=e^{-2x}\\y(0)=0,\ y’(0)=0\end{cases}\tag{H16 農工大院}$$
$$ y = -\frac{1}{3}e^{-x} + \frac{1}{12}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} $$
$$(2)\begin{cases}y’’+2y’+5y=10\cos(x)\\y(0)=0,\ y’(0)=1\end{cases}\tag{H29 農工大}$$
$$ y = -2e^{-x}\cos(2x) -e^{-x}\sin(2x) + 2\cos(x) + \sin(x) $$
$$(3)\begin{cases}y’’-2y’+y=(3x+1)e^x\\y(0)=3,\ y’(0)=-2\end{cases}\tag{H24 農工大}$$
$$ y = e^x \left[ \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x +3 \right] $$
問2: 連立微分方程式の初期値問題
次の連立微分方程式の初期値問題の解を求めよ．
$ x = x(t),\ y = y(t),\ \ ^{\prime}=d/dt $とする．
$$(1)\begin{cases}x’=-4y\\y’=x\\x(0)=0,\ y(0)=1\end{cases}\tag{H21 長岡技大}$$
$$ x = -2\sin(2t),\ y = \cos(2t) $$
$$(2)\begin{cases}x’-3x+y=-2e^{2t}\\6x+y’-4y=4e^{2t}\\x(0)=4,\ y(0)=1\end{cases}\tag{H30 農工大}$$
$$ x = 3e^t + e^{6t},\ y= 6e^t - 3e^{6t} -2e^{2t} $$
問3: 常微分方程式と物理
水平な床の上に置かれた，ばねにつながった物体の運動を考える．左端が壁に固定されたばね定数$k$のばねに，位置$x$，質量$m$の物体をつなぐ．ばねの長さが自然長のときの物体の位置を$x=0$に取り，水平右向き方向を$x$軸とする．$t=0$で位置$x(0)=0\ (>0)$，速度$x’(0)=v_0\ (>0)$としたときのばねの位置$x$は次の微分方程式の初期値問題をみたす．(H22 農工大，H14 奈良女大)
$$\begin{cases}mx’’=-kx&(0 < t < \infty)\\x(0)=x_0\\x’(0)=v_0\end{cases}$$
初期値問題を解いて$x,x’$を求めよ．
\begin{align}
x &=
x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}x\right) +
v_0\sqrt{\frac{m}{k}} \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}x\right) \\
x’ &= -x_0 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}x\right) +
v_0 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}x\right)
\end{align}
微分方程式に$x’$を乗じて，積分することでエネルギー保存則を導出せよ．
$$ \frac{1}{2}m(x’)^2 + \frac{1}{2}kx^2 = E \ \ \ (Eは積分定数)$$
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